Eustachio nasce a Gravina in Puglia il 1° gennaio 1857 dal notaio Giuseppe Montemurro, di Matera, e da Giulia Barbarossa, di distinta famiglia di Minervino Murge BA. Oltre alle doti intellettuali e morali, per le quali sin da fanciullo si segnalerà, mostra un temperamento vivace, dinamico, intraprendente, volitivo e generoso.

Alla sua educazione contribuiscono i genitori, che in Gravina si distinsero per l'esimia vita di fede e la generosa carità verso i poveri e gl'infermi, e gli zii canonici Federico e Leopoldo Barbarossa. Nella scuola elementare e ginnasiale, da questi zii istituita a Minervino, Eustachio riceve la prima istruzione.

Nel giugno 1867 Eustachio, per epidemia colerica, perde la mamma, la sorella M. Francesca, il fratello Federico Gregorio.
Il trauma della morte di tante persone care, senza ostacolare l'equilibrio del ragazzo, ne acuisce il senso di responsabilità, per cui egli riesce ad attendere allo studio con tali risultati da accedere, non ancora quindicenne, al liceo classico di Matera, distinguendosi per condotta e profitto.

Il triennio materano, 1872-1875, incide ancora positivamente sulla formazione della personalità del giovane studente.

Al liceo "Emanuele Duni" di Matera, oltre ad essere d'aiuto ai fratelli Francesco e Luigi, che lo raggiungono un anno dopo dimorando con lui nel Convitto annesso, Eustachio ha modo di frequentare gli zii paterni, che conducono vita povera. Si rende conto dei disagi in cui si dibattono coloro che pur versando in ristrettezze economiche non tendono la mano e il suo senso innato di giustizia, gli sgombra il cuore da esigenze superflue, colmandolo di sensibilità per il prossimo. Ne esce irrobustito psicologicamente e spiritualmente per affrontare gli studi universitari senza sbandamenti.


Nell'autunno del 1875 Eustachio s'iscrive alla facoltà di medicina e chirurgia dell’Università di Napoli.

Coerente con i saldi principi religiosi e morali trasmessigli dalla famiglia, corroborato dalla grazia, appassionato per gli studi e desideroso di conseguire al più presto il dottorato per non essere di troppo peso al padre, si tiene lontano da ozi pericolosi, dedicandosi allo studio con assiduità e impegno. Perciò consegue, il 23 luglio 1879, il diploma speciale in matematica e scienze naturali e, il 23 agosto 1881, la laurea in medicina e chirurgia.

Subito dopo, la sua formazione si rinsalda con l'esperienza del servizio militare compiuto a Bologna.